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欧氏几何学的启示

无需证据就能肯定的事情，同样也可以无需证据就能否定。

-欧几里德（Euclid）古希腊数学和逻辑学家

当笔者还是一位教书匠时，时常鼓励学生应该多读数学，不是因为数学的实用性，而是因为它是训练逻辑的基础。爱因斯坦（A. Einstein）曾经说过：“就其方式而言，纯数学是逻辑思想的诗歌。”而26岁时就提出了反物质的存在、奠定了量子电动力学基础的狄拉克（Paul Dirac）更认为数学帮助他了解物理定律（宇宙）。我们不是大物理学家，在这里只能介绍一个简单的、 2300年前的数学━几何（geometry），看它如何能帮助我们了解我们日常生活中的逻辑。

欧几里德

欧几里德（Euclid）大约于公元前 300 年生于埃及亚历山大。我们对欧几里德的生平知之甚少，只有希腊哲学家普罗克洛斯（Proclus，410-485 年）在其《希腊著名数学家》总结中提到：欧几里德在托勒密一世（Ptolemy I Soter，公元前 323 年至公元前 285 年）统治时期在亚历山大任教。尽管如此，虽然历史上有过更伟大的数学家，也有过更重要的数学家，但如果说数学界有家喻户晓的名字，那非“欧几里德”莫属!欧几里德对人类文明的长期影响可以说非常深远：几个世纪以来，数学和欧几里德在整个西方世界几乎是同义词。

欧几里德的《几何原本》（The Element of Geometry，通常缩写为 Elements）是有史以来最著名数学著作之一。印刷术发明后，这部著作是最早以印刷形式出现的书籍之一：它出版了超过一千种不同的版本，只有《圣经》比它多。《几何原本》通常被描述为一本几何书，但它事实上也涉及数论和一种以几何形式呈现的原型代数。

欧氏几何

欧几里德有两大创新。其一是“证明”的概念：除非是从已知为真的命题中推导出来，欧几里德拒绝接受任何数学命题为真。第二项创新是认识到任何事物都要始于无法被证明的某些“假设”。因此，欧几里德预先提出了五个基本假设作为其所有推论的基础：两点可以用一条线连接;任何有限的线都可以延伸;可以以任意圆心和任意半径画一个圆;所有直角都相等;及两条直线可以平行永不相交。

对欧几里德来说，逻辑证明是几何学的本质特征，而“证明”至今仍是数学事业的基石。缺乏证明的命题无论有多少间接证据支持它、或蕴含意义多么重要，都会被（合理地）怀疑。欧几里德公理━他精心挑选的逻辑推论链━的影响极为深远。例如，他用当时被认为无可挑剔的逻辑证明了：一旦同意他的公理，你就必然得出不能理解之“无理数”存在的结论!

严格的逻辑证明

“无理数”是不能用两个整数相除来精确表达的实数。所以要证明x不是一个无理数，我们只要能找出两个实数来表达它即可。例如利用高速电脑或人脑，我们发现可以用 40/99 表达 1.212121……，所以 1.212121…… 不是无理数。可是如果我们也同样地想利用高速电脑来证明 2–√ = 1.4142135……呢?我们可以在一秒钟内完成成千上万的尝试;但如果在数年后，我们还是找不到一组整数来表达2–√ 时，我们能下结论说 2–√ 是无理数吗?不能，因为对欧几里德来说，这不是严格的逻辑证明（注一）!

同样地，费马（Fermat）大定理于 1637 年提出，谓若 n 大于 2（n>2），则没有任何三个整数 a,b,c 可满足 an+bn=cn 方程式。随着时间的推移，这个简单的定理成为数学界最著名的未证命题之一。许多数学家和业余爱好者要么适用于所有 n>2 的值，要么针对特定情况，试图证明这一命题，推动了数论领域全新的发展。最初是手工证明，后来是计算机证明，找到了最高可达 400 万的所有 n 值;尽管如此，因为不是严格的逻辑证明，数学家还是不能肯定该定律的正确性。

英国数学家怀尔斯爵士（Sir Andrew Wiles）于 1993 年 6 月 23 日首次公布了他的证明，不幸地该证明在三个月后被发现含一个错误。一年后的 1994 年 9 月 19 日，怀尔斯在其自谓为“职业生涯中最重要的时刻”时偶然发现了一个启示，使他能够修正该错误，于 1995 年令欧几里德、数学界满意地严格证明了费马大定理的正确性。

又虽然早在公元五百年左右就有印度数学家怀疑圆周率 π 是无理数;但两千年过去了，虽然还是找不到一组整数来表达它，还是没有任何数学家敢说π是无理数。1761 年法国数学家兰伯特 （Johann Heinrich Lambert） 终于首次严格地证明了π 为一无理数!

非欧几里德几何学

欧几里德之五个初始、无法被证明的命题似乎都是大家很容易认定或接受的日常生活经验。但事实上，欧几里德的第五公设“两条直线可以平行永不相交”远非那么合理明显。因此许多数学家一直在怀疑可以从其它四个假设中推导出来（删除它），或者能用更简单、与其它一样明显的东西代替。但到了十九世纪，数学家们终于证明了它不能从其它四个假设中推导出来，明白了欧几里德加入第五个公设是绝对正确的!

我们之所以认为“两条直线可以永不相交”是合理的是因为我们生活在平面宇宙中：例如如果宇宙是二维空间，那我们就是生活在一张无限大的平面白纸上。但如果我们是生活在一个圆球的表面上呢?事实上我们不正是生活在一个圆球的地球表面上吗?!但因我们的生活圈太小了，故整个周围看起来好像一平面上而已。如果在地球表面上我们将两“平行线”（注二）往同一方向延长不到一万公里，它们是会相交于一点的（如果该两点是在赤道上，那么垂直于赤道的两“平行线”将相交于北极或南极）。所以“两条直线可以永不相交”在地球上不但不合理，根本完全是错误的假设━它只适用于日常生活中。

这些合理的怀疑欧几里德之第五公设并没有付诸流水。1854年，黎曼（Bernhard Riemann）在一次著名的演讲中建构了无限多的非欧几里德几何族，为非欧几里德几何学迈出了决定性的一步。其中最简单的一族缺乏平行线的公设，被称为“非欧几何”（non-Euclidean Geometry）。

在欧几里德几何里，两点之间的最短距离是一条直线;在非欧几里德几何球体表面上，两点之间的最短距离则是沿着球体表面的大圆弧路径（称为测地线，注三）。在欧几里德几何里，三角形内角总和为180度;但在非欧几里德几何球体表面上，由三个大圆弧组成的球体表面三角形内角总和则大于180度。

非欧几何与物理

非欧几何的发展对数学和物理学产生了深远的影响。它显示欧几里德几何并非唯一逻辑一致的体系，为爱因斯坦的相对论铺平了道路。

牛顿物理学从根本上来说是使用平坦的欧几里德空间和通用时间的概念来描述运动，因此当地球不沿着直线运动时，牛顿必须用重力来解释。爱因斯坦的相对论运用非欧几何来描述弯曲时空，谓重力并非一种力，而是时空曲率的表现：巨大的太阳弯曲了其附近时空，地球只是沿着这一弯曲时空中之“最直”的路径（测地线）运动而已。

同样地，牛顿物理学假设重力只对有质量的物体施加力，而光是无质量的，因此光应该永远沿着直线传播。但爱因斯坦广义相对论将重力描述为时空的弯曲（不是力），光将在这弯曲的时空沿着“直线”（测地线）传播，但我们观察到的将是“光不沿着直线传播”!爱因斯坦的这一成功预测使他“瞬间”成为家喻户晓的科学家（“延伸阅读1”）。

欧几里德几何的社会逻辑

人类可能是唯一知道死是怎么一回事的动物，因此很早就在寻找生命的目的，很难接受霹雳一声、无中生有地出现了时间、空间、及能量的近代宇宙观（“延伸阅读2”）。因此许多人认为我们来到这个世界是有目的的，我们是“上帝”（注四）创造出来的。因此“上帝”存在成了一个大家能接受、不需要证明的合理“公设”。对信教的人来说，它解释了日常生活中的所有现象。对爱因斯坦及一些科学家来说：如果不是超人的“上帝”，为什么我们看到的宇宙能不可思议地依循某些定律井然有序地运转，但我们只是朦胧地了解这些定律?

在“延伸阅读3”里，笔者提到了要证明上帝的存在是很困难的，但要证明上帝不存在更加困难!因此“上帝不存在”也是属于“不能证明、不需要回答的合理假设”，所以在民主国家里人人有宗教信仰或不信仰的自由。

在社会上要证明某人没有博士学位很困难甚或不可能（注五），因此能被接受、不需要证明之唯一合理假设应该是“人人没有博士学位”。在这前提下，如果你说你有博士学位，则证明有博士学位的责任应该落在你身上，而不是检察官或具告人!

同样地，因为证明我们没有犯罪很困难甚或不可能，所以“我们没有犯罪”应该是唯一的不需要证明之合理假设;如果你控告我犯罪，那法庭应该要你（告诉人或检察官）提出不被怀疑及合理质疑的证据。这事实上正是民主国家所采取的法律制度。

结论

欧几里德的专着《几何原本》为几何学提供了一个系统而公理化的方法：他从一组不证自明的真理（公理和公设）出发，运用演绎推理推导出定理和证明，为数学的严谨性和逻辑推理确立了标准，塑造了数学家和科学家解决问题和建构理论的方式，甚至影响了数学以外的各个领域如法律和政治思想，在人类社会发展中发挥了基础性作用。例如美国杰斐逊（Thomas Jefferson）和其他开国元勋们就是运用欧几里德演绎法构建了《独立宣言》：他们从类似于欧几里德几何的“不证自明”的真理━公理━入手，建立逻辑论证，以证明革命和建立新政府的必要性。因为这些基本原则被普遍接受，无需进一步证明，因此赋予了《独立宣言》强大而不可否认的力量。

我们在这里探讨了日常生活中所碰到的宗教信仰、学位真假、与犯罪判决的争论与判断，得到结论：人人有宗教信仰或不信仰的自由，确定犯罪的责任在检察官身上，证明有学位的义务则落在当事人身上!

注释

（注一）严格地证明 2–√ 是无理数很简单，有兴趣的读者可参考“延伸阅读3”。

（注二）原则上必须是趋近于零的短线。

（注三）大圆弧是球体上任何圆心与球心重合的圆（例如赤道）。但是因为天气、急流和空域限制等因素，航班并不沿着大圆弧路径飞行，例如台北到旧金山的实际航线比大圆弧长了约10%。

（注四）这里指的“上帝”是抽象的、广泛的超人造物主。

（注五）在“延伸阅读4”一文里，笔者提到了要证明有博士学位应该是非常简单的，如拿出正式的毕业证书或学校出证明;但要外人证明你没有博士学位，则将与证明上帝不存在一样更加困难：因为即使我们找遍全世界所有的地方，都没发现你的论文或证书，我们还是不能说你没有博士学位的博士学位━因为这不是“严格的逻辑证明”!